Vad menas med derivata?

Innehållsförteckning:

1. Vad menas med derivata?
2. Hur man räknar ut derivata?
3. Hur skriver man derivata?
4. När lär man sig derivata?
5. Hur ska man derivera?
6. Vad heter tredje derivatan?

Vad menas med derivata?

Derivatan av funktionen f i punkten x0 definieras som gränsvärdet

Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.

Derivatan av funktionen f i punkten x0 definieras som gränsvärdet

Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.

Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:

Om en funktion f åskådliggörs av en graf så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)). Tangentens lutning kan approximeras med sekantens lutning i ett litet område kring punkten x. Om sekanten går genom punkterna (x, f(x)) och (x+h, f(x+h)), där h är ett litet tal, blir dess lutning i detta intervall

Approximationen blir bättre ju mindre h väljs; om avståndet h mellan punkternas x-värden går mot noll, så kommer sekanten att övergå till tangenten vid x och lutningen kommer att gå mot derivatan f ′(x); härav derivatans definition.

Om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bland annat Weierstrass exempel. Ett enklare exempel än Weierstrass ges av absolutbelopps-funktionen:

Hur man räknar ut derivata?

Mattecentrum och våra samarbets­partners sparar information på din enhet för att kunna erbjuda anpassad funktionalitet, samla in besöks­statistik och möjliggöra personaliserad marknads­föring. Du väljer vilka typer av cookies som du accepterar utöver de nödvändiga som behövs för att webbplatsen ska fungera.

Besöksstatistik Marknadsföring

Hur skriver man derivata?

Skydda ditt företagsnamn, dina varumärken och idéer som domännamn. Sök lediga domännamn på websupport.se »

När lär man sig derivata?

Mattecentrum och våra samarbets­partners sparar information på din enhet för att kunna erbjuda anpassad funktionalitet och samla in besöks­statistik. Du väljer vilka typer av cookies som du accepterar utöver de nödvändiga som behövs för att webbplatsen ska fungera.

Besöksstatistik

Hur ska man derivera?

Vi kan använda enpunktsformen för att bestämma en tangents ekvation med derivata, men för att kunna göra det måste vi känna till en punkt på tangenten samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. Dess x-koordinat, 2, känner vi redan till, och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=2 i funktionen f(x).

Tangeringspunkten har alltså koordinaterna (2,96). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutning, genom att derivera funktionen och sätta in x-värdet från tangeringspunkten.

Vad heter tredje derivatan?

Derivatan av funktionen f i punkten x0 definieras som gränsvärdet

Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.

Derivatan av funktionen f i punkten x0 definieras som gränsvärdet

Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten. Om derivatan av f är kontinuerlig sägs funktionen f vara kontinuerligt deriverbar.

Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:

Om en funktion f åskådliggörs av en graf så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)). Tangentens lutning kan approximeras med sekantens lutning i ett litet område kring punkten x. Om sekanten går genom punkterna (x, f(x)) och (x+h, f(x+h)), där h är ett litet tal, blir dess lutning i detta intervall

Approximationen blir bättre ju mindre h väljs; om avståndet h mellan punkternas x-värden går mot noll, så kommer sekanten att övergå till tangenten vid x och lutningen kommer att gå mot derivatan f ′(x); härav derivatans definition.

Om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bland annat Weierstrass exempel. Ett enklare exempel än Weierstrass ges av absolutbelopps-funktionen: